- 目錄
【第1篇 初中數學二次函數知識點總結
I.定義與定義表達式
一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關系：y=a_^2+b_+c
(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大.)則稱y為_的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(_-h)^2+k [拋物線的頂點P(h，k)]
交點式：y=a(_-_?)(_-_ ?) [僅限于與_軸有交點A(_? ，0)和 B(_?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=_^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線 _ = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線_=0)
2.拋物線有一個頂點P，坐標為：P ( -b/2a ，(4ac-b^2)/4a )當-b/2a=0時，P在y軸上;當Δ= b^2-4ac=0時，P在_軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與_軸交點個數
Δ= b^2-4ac>0時，拋物線與_軸有2個交點。
Δ= b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點。
Δ= b^2-4ac<0時，拋物線與_軸沒有交點。X的取值是虛數(_= -b±√b^2-4ac 的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)
V.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數(以下稱函數)y=a_^2+b_+c，
當y=0時，二次函數為關于_的一元二次方程(以下稱方程)，即a_^2+b_+c=0
此時，函數圖像與_軸有無交點即方程有無實數根。函數與_軸交點的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2 +k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸：
當h>0時，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到.
當h>0,k>0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(_-h)^2 +k的圖象;
當h>0,k<0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象;
當h<0,k>0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象;
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線 y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當a>0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線_=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>0，當_ ≤ -b/2a時，y隨_的增大而減小;當_ ≥ -b/2a時，y隨_的增大而增大.若a<0，當_ ≤ -b/2a時，y隨_的增大而增大;當_ ≥ -b/2a時，y隨_的增大而減小.
4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);
(2)當△=b^2-4ac>0，圖象與_軸交于兩點A(_?，0)和B(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離AB=|_?-_?|
當△=0.圖象與_軸只有一個交點;
當△<0.圖象與_軸沒有交點.當a>0時，圖象落在_軸的上方，_為任何實數時，都有y>0;當a<0時，圖象落在_軸的下方，_為任何實數時，都有y<0.
5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>0(a<0)，則當_= -b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值
6.用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知_、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與_軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).
7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現.
【第2篇 高一數學二次函數知識點總結
高一數學二次函數知識點總結
i.定義與定義表達式
一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關系：
y=a_^2+b_+c
(a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>;0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下，iai還可以決定開口大小，iai越大開口就越小，iai越小開口就越大.)
則稱y為_的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
ii.二次函數的三種表達式
一般式：y=a_^2+b_+c(a，b，c為常數，a≠0)
頂點式：y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點p(h，k)]
交點式：y=a(_-_?)(_-_?)[僅限于與_軸有交點a(_?，0)和b(_?，0)的拋物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系：
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4a_?，_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=_^2的圖像，
可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
iv.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
_=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。
特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸(即直線_=0)
2.拋物線有一個頂點p，坐標為
p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)
當-b/2a=0時，p在y軸上;當δ=b^2-4ac=0時，p在_軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>;0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口。
a越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>;0)，對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于(0，c)
6.拋物線與_軸交點個數
δ=b^2-4ac>;0時，拋物線與_軸有2個交點。
δ=b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點。
δ=b^2-4ac<0時，拋物線與_軸沒有交點。_的取值是虛數(_=-b±√b^2-4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a)
v.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數(以下稱函數)y=a_^2+b_+c，
當y=0時，二次函數為關于_的一元二次方程(以下稱方程)，
即a_^2+b_+c=0
此時，函數圖像與_軸有無交點即方程有無實數根。
函數與_軸交點的橫坐標即為方程的根。
1.二次函數y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2+k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
解析式
頂點坐標
對稱軸
y=a_^2
(0，0)
_=0
y=a(_-h)^2
(h，0)
_=h
y=a(_-h)^2+k
(h，k)
_=h
y=a_^2+b_+c
(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)
_=-b/2a
當h>;0時，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動h個單位得到.
當h>;0，k>;0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(_-h)^2+k的圖象;
當h>;0，k<0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向下移動k個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象;
當h<0，k>;0時，將拋物線向左平行移動h個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象;
當h<0，k<0時，將拋物線向左平行移動h個單位，再向下移動k個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象;
因此，研究拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了.這給畫圖象提供了方便.
2.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當a>;0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線_=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>;0，當_≤-b/2a時，y隨_的增大而減小;當_≥-b/2a時，y隨_的增大而增大.若a<0，當_≤-b/2a時，y隨_的.增大而增大;當_≥-b/2a時，y隨_的增大而減小.
4.拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c);
(2)當△=b^2-4ac>;0，圖象與_軸交于兩點a(_?，0)和b(_?，0)，其中的_1，_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的兩根.這兩點間的距離ab=_?-_?
當△=0.圖象與_軸只有一個交點;
當△<0.圖象與_軸沒有交點.當a>;0時，圖象落在_軸的上方，_為任何實數時，都有y>;0;當a<0時，圖象落在_軸的下方，_為任何實數時，都有y<0.
5.拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>;0(a<0)，則當_=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值.
6.用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知_、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(_-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與_軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0).
7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現.
【第3篇 中考數學二次函數知識點總結
導語有一個現象是普遍存在的，就是“學的越多感覺不會的越多，背的越多忘的越快”，這個問題困擾著很多考研黨。很多時候死記硬背并不是的方法，需要找到正確的思路，靈活記憶。為同學們提供中考數學二次函數知識點總結，希望能對大家有所幫助。
i.定義與定義表達式
一般地，自變量_和因變量y之間存在如下關系：y=a_^2+b_+c
（a，b，c為常數，a≠0，且a決定函數的開口方向，a>;0時，開口方向向上，a<0時，開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大.）則稱y為_的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
ii.二次函數的三種表達式
一般式：y=a_^2+b_+c（a，b，c為常數，a≠0）
頂點式：y=a(_-h)^2+k[拋物線的頂點p（h，k）]
交點式：y=a(_-_?)(_-_?)[僅限于與_軸有交點a（_?，0）和b（_?，0）的拋物線]
注：在3種形式的互相轉化中，有如下關系:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a _?,_?=(-b±√b^2-4ac)/2a
iii.二次函數的圖像
在平面直角坐標系中作出二次函數y=_^2的圖像，可以看出，二次函數的圖像是一條拋物線。
iv.拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線_=-b/2a。
對稱軸與拋物線的交點為拋物線的頂點p。特別地，當b=0時，拋物線的對稱軸是y軸（即直線_=0）
2.拋物線有一個頂點p，坐標為：p(-b/2a，(4ac-b^2)/4a)當-b/2a=0時，p在y軸上；當δ=b^2-4ac=0時，p在_軸上。
3.二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a＞0時，拋物線向上開口；當a＜0時，拋物線向下開口。|a|越大，則拋物線的開口越小。
4.一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時（即ab＞0），對稱軸在y軸左；
當a與b異號時（即ab＜0），對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交于（0，c）
6.拋物線與_軸交點個數
δ=b^2-4ac＞0時，拋物線與_軸有2個交點。
δ=b^2-4ac=0時，拋物線與_軸有1個交點。
δ=b^2-4ac＜0時，拋物線與_軸沒有交點。
_的取值是虛數（_=-b±√b^2－4ac的值的相反數，乘上虛數i，整個式子除以2a）
v.二次函數與一元二次方程
特別地，二次函數（以下稱函數）y=a_^2+b_+c，
當y=0時，二次函數為關于_的一元二次方程（以下稱方程），即a_^2+b_+c=0
此時，函數圖像與_軸有無交點即方程有無實數根。函數與_軸交點的橫坐標即為方程的根。
1．二次函數y=a_^2，y=a(_-h)^2，y=a(_-h)^2+k，y=a_^2+b_+c(各式中，a≠0)的圖象形狀相同，只是位置不同，它們的頂點坐標及對稱軸如下表：
當h>;0時，y=a(_-h)^2的圖象可由拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位得到，
當h<0時，則向左平行移動|h|個單位得到．
當h>;0,k>;0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向上移動k個單位，就可以得到y=a(_-h)^2+k的圖象；
當h>;0,k<0時，將拋物線y=a_^2向右平行移動h個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象；
當h<0,k>;0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向上移動k個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象；
當h<0,k<0時，將拋物線向左平行移動|h|個單位，再向下移動|k|個單位可得到y=a(_-h)^2+k的圖象；
因此，研究拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象，通過配方，將一般式化為y=a(_-h)^2+k的形式，可確定其頂點坐標、對稱軸，拋物線的大體位置就很清楚了．這給畫圖象提供了方便．
2．拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)的圖象：當a>;0時，開口向上，當a<0時開口向下，對稱軸是直線_=-b/2a，頂點坐標是(-b/2a，[4ac-b^2]/4a)．
3．拋物線y=a_^2+b_+c(a≠0)，若a>;0，當_≤-b/2a時，y隨_的增大而減?。划擾≥-b/2a時，y隨_的增大而增大．若a<0，當_≤-b/2a時，y隨_的增大而增大；當_≥-b/2a時，y隨_的增大而減?。?/p>
4．拋物線y=a_^2+b_+c的圖象與坐標軸的交點：
(1)圖象與y軸一定相交，交點坐標為(0，c)；
(2)當△=b^2-4ac>;0，圖象與_軸交于兩點a(_?，0)和b(_?，0)，其中的_1,_2是一元二次方程a_^2+b_+c=0
(a≠0)的兩根．這兩點間的距離ab=|_?-_?|
當△=0．圖象與_軸只有一個交點；
當△<0．圖象與_軸沒有交點．當a>;0時，圖象落在_軸的上方，_為任何實數時，都有y>;0；當a<0時，圖象落在_軸的下方，_為任何實數時，都有y<0．
5．拋物線y=a_^2+b_+c的最值：如果a>;0(a<0)，則當_=-b/2a時，y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a．
頂點的橫坐標，是取得最值時的自變量值，頂點的縱坐標，是最值的取值．
6．用待定系數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知_、y的三對對應值時，可設解析式為一般形式：
y=a_^2+b_+c(a≠0)．
(2)當題給條件為已知圖象的頂點坐標或對稱軸時，可設解析式為頂點式：y=a(_-h)^2+k(a≠0)．
(3)當題給條件為已知圖象與_軸的兩個交點坐標時，可設解析式為兩根式：y=a(_-_?)(_-_?)(a≠0)．
7．二次函數知識很容易與其它知識綜合應用，而形成較為復雜的綜合題目。因此，以二次函數知識為主的綜合性題目是中考的熱點考題，往往以大題形式出現．
